Matura z matematyki 2026 (poziom podstawowy) – Rozwiązania krok po kroku

Wiem, jak ogromne emocje towarzyszą egzaminom maturalnym. Dla wielu z Was arkusz z matematyki to najważniejszy sprawdzian w roku, a zderzenie się z pierwszym zadaniem często nadaje ton całemu egzaminowi. Mam nadzieję, że w ostatecznym rozrachunku wszystko poszło po Waszej myśli! Tegoroczny arkusz z maja 2026 roku zawierał sporo tak zwanych "pewniaków", chociaż znalazło się w nim też kilka momentów mocno podchwytliwych.

Dziś weźmiemy pod lupę Zadanie 1. Zobaczmy, z czym przyszło Wam się zmierzyć na samym starcie.

Zadanie 1: Potęgi i pierwiastki na wejście

Zadanie otwierające tegoroczny arkusz CKE sprawdzało Waszą znajomość własności działań. Brzmiało ono następująco:

Jak to obliczyć? Przedstawiam dwie opcje rozwiązania!

Poniżej przygotowałem dla Was dwie poprawne metody dojścia do wyniku, bazujące na prawach działań na liczbach. Samo zadanie należy uznać za dosyć proste i przyjemne – idealne na powolną "rozgrzewkę" mózgu przed trudniejszą sekcją otwartą.

Opcja 1: "Szybka ścieżka" pod jednym pierwiastkiem

Jeśli dobrze pamiętacie szkolne własności, ten sposób gwarantuje błyskawiczne podanie wyniku:

1. Mnożenie pod jednym dachem: Ponieważ mamy mnożenie pierwiastków tego samego (czyli drugiego) stopnia, obie liczby możemy wrzucić pod jeden, wspólny znak pierwiastka. Zapisujemy to jako: $\sqrt{\frac{25}{8} \cdot 2}$.
2. Skracanie: Możemy łatwo skrócić ósemkę znajdującą się w mianowniku z dwójką (przez 2). Daje nam to pod pierwiastkiem ułamek $$.

Tym sposobem bez trudu zaznaczamy odpowiedź C.

Opcja 2: "Solidna ścieżka" poprzez rozkład na czynniki

Gdy stres zablokował myślenie o wspólnym pierwiastkowaniu, bez problemu mogliście dotrzeć do mety drugim, bardziej analitycznym torem:

1. Pierwiastkowanie fragmentami: Najpierw bierzemy się za pierwiastek z ułamka $\sqrt{\frac{25}{8}}$. Pierwiastek z samego licznika (25) to równe 5. Z kolei pierwiastek z mianownika (8) możemy rozpisać w głowie jako $\sqrt{4 \cdot 2}$, co po wyciągnięciu czwórki daje wynik . Lewa część zadania przybiera więc formę: .

I tą metodą również bezpiecznie dopływamy do odpowiedzi C.

Zadanie 2: Procent składany i odsetki z lokaty – uwaga na haczyk!

Kolejne wyzwanie z maturalnego arkusza to klasyka gatunku z działu finansów. Zadanie sprawdzało praktyczną umiejętność sprawnego posługiwania się procentem składanym oraz – co najważniejsze – dokładnego czytania poleceń CKE.

Poniżej znajdziesz dwa sprawdzone podejścia do tego problemu. Obie metody doprowadzą Cię bezpiecznie do poprawnego wyniku.

Sposób 1: Intuicyjny "krok po kroku" (rok po roku)

Ta metoda jest najbardziej naturalna i nie wymaga pamiętania skomplikowanych wzorów. Wystarczy kalkulator prosty i logiczne myślenie.

1. Obliczamy stan konta po pierwszym roku: Klient ma na początku 100% swojej kwoty, czyli 10 000 zł. Bank dolicza 6%, co oznacza, że po roku na koncie znajduje się 106% wpłaconej kwoty. W matematyce 106% zamieniamy na ułamek dziesiętny $1{,}06$. Działanie: $10\ 000 \text{ zł} \cdot 1{,}06 = 10\ 600 \text{ zł}$. Tyle wynosi kapitał klienta po upływie pierwszego roku.
2. Obliczamy stan konta po drugim roku: Mechanizm procentu składanego polega na tym, że w kolejnym roku bank nalicza 6% już od nowej, powiększonej kwoty (czyli od 10 600 zł). Ponownie mnożymy aktualny stan konta przez $1{,}06$. Działanie: . To jest całkowita kwota, jaka fizycznie znajduje się na koncie po dwóch latach oszczędzania.

Sposób 2: Użycie gotowego wzoru na procent składany

Szybka ścieżka dla osób, które wolą od razu sięgnąć po oficjalne tablice maturalne. Na stronie 10 w dziale o ciągach znajduje się gotowy wzór na kapitał końcowy:

$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$

Podstawiamy dane z treści zadania:

• $K_0 = 10\ 000$ (kapitał początkowy)
• $p = 0{,}06$ (procent dopisywany co roku zamieniony na ułamek: $6 \div 100$)
• $n = 2$ (liczba lat, czyli okresów kapitalizacji)

Zapisujemy i wykonujemy działanie:

$K_2 = 10\ 000 \cdot (1 + 0{,}06)^2 = 10\ 000 \cdot (1{,}06)^2$

Obliczenia na kalkulatorze: Najpierw wykonujemy potęgowanie: $1{,}06 \cdot 1{,}06 = 1{,}1236$. Następnie mnożymy ten wynik przez wkład początkowy: $10\ 000 \cdot 1{,}1236 = 11\ 236 \text{ zł}$.

Aby wyliczyć czysty zysk z lokaty, musimy od końcowego stanu konta odjąć kwotę, którą klient sam wpłacił na start:

$11\ 236 \text{ zł} - 10\ 000 \text{ zł} = 1\ 236 \text{ zł}$

W arkuszu maturalnym poprawna jest zatem odpowiedź B.

Zadanie 3: Pierwiastek z pierwiastka

Zamiast przerażać się "pierwiastkiem z pierwiastka", użyjemy najlepszego matematycznego triku, idealnego dla tego typu zadań: zamienimy wszystkie pierwiastki na potęgi.

Krok 1: Odkrywamy "niewidzialne" liczby

W matematyce musimy pamiętać o dwóch przydatnych zasadach:

1. Jeśli zwykła liczba nie ma zapisanej potęgi, to tak naprawdę ma potęgę pierwszą. Zatem nasze $5$ to w rzeczywistości $5^1$.
2. Zwykły pierwiastek kwadratowy z jakiejś liczby to matematycznie dokładnie to samo, co podniesienie tej liczby do ułamkowej potęgi $\frac{1}{2}$.

Krok 2: Zaczynamy od samego środka

Najlepiej zawsze rozwiązywać takie "cebulowe" wyrażenia od środka. Pod dużym, zewnętrznym pierwiastkiem ukrywa się mnożenie: $5 \cdot \sqrt{5}$. Rozpiszmy ten środek, korzystając z zasad z pierwszego kroku: $5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Krok 3: Łączymy środek w jedną liczbę

Kiedy mnożymy przez siebie liczby o takich samych dołach (u nas są to dwie piątki), to ich górne potęgi po prostu do siebie dodajemy. Dodajmy je: $1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Cały środek naszego wyrażenia zredukował się więc do ładnej postaci: .

Krok 4: Pozbywamy się dużego pierwiastka

Nasze całe zadanie wygląda teraz tak: $\sqrt{5^{\frac{3}{2}}}$. Możemy ponownie zamienić pierwiastek na potęgę na samym końcu wyrażenia, zamykając nasz środek w nawiasie: . Zasada matematyczna mówi, że kiedy spotykasz "potęgę potęgi" (są oddzielone nawiasem), to musisz je przez siebie pomnożyć. Mnożymy góry ze sobą i doły ze sobą: . Otrzymujemy w ten sposób .

Finał: Ostateczny wynik tego zadania to $5^{\frac{3}{4}}$. W arkuszu maturalnym odpowiada to odpowiedzi C.

Zadanie 4: Działania na logarytmach

Choć logarytmy często budzą lęk, to zadanie opiera się na jednej bardzo prostej zasadzie, którą wyjaśnię Ci krok po kroku.

Krok 1: Zastosowanie zasady odejmowania logarytmów

Najważniejsza zasada, której potrzebujesz, mówi: jeśli odejmujesz od siebie dwa logarytmy, które mają taką samą małą liczbę na dole (podstawę), to możesz je połączyć w jeden, dzieląc przez siebie ich duże liczby. W naszym zadaniu oba logarytmy mają na dole ósemkę. Zapisujemy więc jeden wspólny logarytm z ósemką, a duże liczby (4 i 32) zapisujemy jako dzielenie: $\log_8\left(\frac{4}{32}\right)$

Krok 2: Uproszczenie ułamka

Teraz musimy uprościć ułamek, który powstał w nawiasie. Obie liczby dzielą się przez 4. Ponieważ $4 \div 4 = 1$, a $32 \div 4 = 8$, otrzymujemy zatem logarytm: $\log_8\left(\frac{1}{8}\right)$

Krok 3: Rozwiązanie logarytmu

Aby podać ostateczny wynik, musisz zadać sobie jedno konkretne pytanie: "Do jakiej potęgi muszę podnieść małą liczbę z dołu (8), aby otrzymać dużą liczbę z nawiasu ($\frac{1}{8}$)?".

Skoro chcemy z ósemki ($8$) zrobić ułamek $\frac{1}{8}$, to musimy użyć potęgi $-1$. Sprawdzenie: $8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Ostateczny wynik to -1. W arkuszu maturalnym jest to odpowiedź B.

Zadanie 5: Własności ogromnych potęg

Aby je rozwiązać, nie musisz obliczać tych ogromnych potęg – wystarczy zastosować kilka sprytnych zasad matematycznych.

Stwierdzenie 1: Czy ta liczba jest podzielna przez 20?

Aby sprawdzić podzielność przez 20, musimy wiedzieć, czy w naszej liczbie "ukryte" jest mnożenie $4 \cdot 5$ (bo to daje 20).

• Rozpisanie potęg: Nasza liczba składa się z dwunastu czwórek i dwudziestu czterech piątek pomnożonych przez siebie: $(4 \cdot 4 \cdot ... \cdot 4) \cdot (5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5)$.
• Szukanie pary: Wystarczy, że weźmiemy tylko jedną czwórkę i jedną piątkę z tego zestawu. Ich iloczyn to 20.
• Wniosek: Skoro w całym mnożeniu występuje chociaż jedna dwudziestka, to cała liczba jest podzielna przez 20.

Zdanie pierwsze to Prawda (P).

Stwierdzenie 2: Czy ta liczba składa się z 25 cyfr?

To wydaje się trudne, dopóki nie zamienimy naszej liczby na potęgę liczby 10.

1. Zamiana czwórki na dwójkę: Wiemy, że $4 = 2^2$. Zatem nasze $4^{12}$ możemy zapisać jako $(2^2)^{12}$. Zgodnie z zasadą, że potęgi w nawiasie mnożymy (), otrzymujemy .

Zdanie drugie to również Prawda (P).

Zadanie 6: Wzory skróconego mnożenia

To zadanie można rozwiązać na dwa główne sposoby: sprytny (z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia) oraz standardowy (poprzez bezpośrednie podstawienie liczby pod $x$).

Sposób 1: Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia

1. Zauważenie wzoru: Wyrażenie $x^2 + 10x + 25$ pasuje idealnie do wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie i .

Sposób 2: Bezpośrednie podstawienie

1. Obliczenie $x^2$: $(\sqrt{2} - 5)^2 = 2 - 10\sqrt{2} + 25 = 27 - 10\sqrt{2}$

Jak widzisz, w obu przypadkach wynik jest identyczny. Prawidłowa odpowiedź to A.

Zadanie 7: Dowód na podzielność

Zadanie 7 to zadanie typu „wykaż, że", które wymaga od nas udowodnienia, że wyrażenie $7n^2 + 21n$ jest podzielne przez 14 dla każdej liczby całkowitej $n$. Choć brzmi to poważnie, rozwiązanie opiera się na prostym wyłączeniu czynnika przed nawias i logicznym sprawdzeniu dwóch przypadków.

Krok 1: Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias

Wyciągamy $7n$ przed nawias: $7n(n+3)$ (Jeśli wymnożysz to z powrotem, otrzymasz wyjściowe $7n^2 + 21n$.)

Krok 2: Analiza podzielności

Liczba jest podzielna przez 14, jeśli jednocześnie dzieli się przez 7 oraz przez 2 (czyli jest parzysta). Dzięki wyciągnięciu siódemki przed nawias już widzimy, że całe nasze wyrażenie jest na pewno podzielne przez 7. Teraz musimy tylko udowodnić, że iloczyn $n(n+3)$ jest zawsze liczbą parzystą.

Krok 3: Sprawdzenie parzystości (Dwa przypadki)

Liczba całkowita $n$ może być albo parzysta, albo nieparzysta:

• Przypadek 1 ($n$ jest liczbą parzystą): Jeśli samo $n$ jest parzyste, to pomnożenie go przez jakąkolwiek inną liczbę całkowitą zawsze da wynik parzysty.
• Przypadek 2 ($n$ jest liczbą nieparzystą): Jeśli $n$ jest nieparzyste, to po dodaniu do niego trójki ($n+3$) otrzymamy liczbę parzystą (suma dwóch liczb nieparzystych jest zawsze parzysta). Zatem $(\text{nieparzysta}) \cdot (\text{parzysta})$ daje wynik parzysty.

Krok 4: Finał dowodu

Skoro nasze wyrażenie to 7 pomnożone przez coś, co jest zawsze parzyste (podzielne przez 2), to cała liczba musi być podzielna przez $7 \cdot 2 = 14$. Można to zapisać matematycznie jako $14 \cdot k$, gdzie $k$ jest jakąś liczbą całkowitą, co ostatecznie kończy dowód.

Zadanie 8: Równanie w postaci iloczynowej

To zadanie opiera się na bardzo ważnej zasadzie: jeśli mnożymy przez siebie kilka nawiasów i wynik wynosi 0, to znaczy, że co najmniej jeden z tych nawiasów musi być równy 0.

Krok 1: Znalezienie wszystkich rozwiązań

Musimy sprawdzić, dla jakich liczb $x$ każdy nawias z osobna „wyzeruje się". Liczba 3 na początku nie ma znaczenia, bo nigdy nie będzie zerem.

• Pierwszy nawias: $x+3=0 \implies x=-3$
• Drugi nawias: $x-m=0 \implies x=m$

Mamy więc trzy rozwiązania: $-3$, $m$ oraz $-2$.

Krok 2: Wykorzystanie informacji o sumie rozwiązań

$(-3) + m + (-2) = 0$

Krok 3: Obliczenie liczby $m$

$m - 5 = 0 \implies m = 5$

Liczba $m$ musi wynosić 5. W arkuszu maturalnym jest to odpowiedź C.

Zadanie 9: Równanie wymierne

Eksperci wskazują na jedną główną i najprostszą metodę rozwiązania takiego równania – mnożenie „na krzyż". Polega ono na pomnożeniu licznika jednego ułamka przez mianownik drugiego.

1. Zapisanie mnożenia: $5 \cdot (x+2) = 2 \cdot (3x-1)$
2. Wymnożenie nawiasów: $5x + 10 = 6x - 2$

Ostateczny wynik to 12. W arkuszu maturalnym jest to odpowiedź D.

Zadanie 10: Nierówność kwadratowa

Tego typu zadania są "pewniakami" maturalnymi i zawsze rozwiązuje się je według tego samego, sprawdzonego schematu.

Krok 1: Przeniesienie wszystkiego na lewą stronę

$3x^2 + 4x - 6x - 8 \ge 0 \implies 3x^2 - 2x - 8 \ge 0$

Krok 2: Wyznaczenie współczynników i liczenie Delty ($\Delta$)

• Współczynniki: $a=3, b=-2, c=-8$
• $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Krok 3: Obliczenie miejsc zerowych ($x_1$ i $x_2$)

$x_1 = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Krok 4: Odczytanie wyniku

Ponieważ współczynnik $a=3 > 0$, parabola jest "uśmiechnięta" – ramiona idą w górę. Mamy znak $\ge 0$, więc interesują nas części wykresu leżące nad osią lub na niej.

Ostateczny wynik to przedział: $x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, +\infty)$

Zadanie 11: Zadanie otwarte – Tekstowe z biletami

Krok 1: Obliczenie całkowitego wpływu ze sprzedaży

Skoro organizatorom zostało $75\%$ całej kwoty ($100\% - 25\% = 75\%$), a te $75\%$ to dokładnie $4665\text{ zł}$: $4665 \div 0{,}75 = 6220\text{ zł}$

Sposób 1: Układ równań (Metoda klasyczna)

• $x$ – liczba biletów ulgowych, $y$ – liczba biletów normalnych

$x + y = 200$ $25x + 35y = 6220$

Podstawiamy $y = 200 - x$: $25x + 35(200 - x) = 6220$ $25x + 7000 - 35x = 6220$

Sposób 2: Metoda "Gdyby wszystkie były normalne"

Wyobraźmy sobie, że wszystkie bilety były normalne (po $35\text{ zł}$):

• $200 \cdot 35 = 7000\text{ zł}$ – to za dużo
• Nadwyżka: $7000 - 6220 = 780\text{ zł}$
• Każda zamiana biletu normalnego na ulgowy "zabiera" z sumy $10\text{ zł}$ ($35 - 25 = 10$)

Zadanie 12: Analiza wykresu funkcji

Rozwiązanie Zadania 12.1

1. Rozwiązanie równania $f(x) = 3$

• Analiza pierwszego przedziału $x \in [-4, 2]$: $x + 2 = 3 \implies x = 1$ Liczba $1$ należy do przedziału , więc jest to poprawne rozwiązanie.

Zatem jedynym poprawnym rozwiązaniem równania jest liczba $1$.

2. Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2, 3]$

• Dla lewego końca $x = 2$ (dziedzina pierwszej gałęzi, przedział domknięty): $f(2) = 2 + 2 = 4$
• Dla $x \in (2, 3]$ funkcja maleje wg , więc

Najwyższa wartość na tym fragmencie wykresu to $4$.

Rozwiązanie Zadania 12.2

1. Zbiór wartości funkcji $f$

• Najniższy punkt wykresu: $(-4, -2)$ – zamalowany, więc wartość $-2$ należy do zbioru wartości.
• Najwyższy punkt wykresu: $(2, 4)$ – zamalowany, więc wartość $4$ należy do zbioru wartości.
• Obie gałęzie są liniowe (ciągłe), funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.

Zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $[-2, 4]$.

2. Zbiór argumentów, dla których $f(x) > 1$

1. Dla pierwszej części ($x \in [-4, 2]$): $x + 2 > 1 \implies x > -1 \implies x \in (-1, 2]$

Suma obu przedziałów: $(-1, 2] \cup (2, 4) = (-1, 4)$.

Zadanie 13: Własności funkcji liniowej i Trygonometria

Zadanie 13.1 (Prawda/Fałsz)

• Idąc od lewej do prawej, linia prosta wyraźnie opada w dół – funkcja jest malejąca, więc $a < 0$. → FAŁSZ (F)
• Wykres przecina pionową oś na wysokości $-3$, zatem $b = -3$, co nie jest liczbą dodatnią. → FAŁSZ (F)

Zadanie 13.2

Tangens kąta nachylenia prostej do osi $Ox$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu tej prostej ($\tan\alpha = a$).

Wyznaczamy współczynnik $a$ korzystając z danych punktów $A=(-2,0)$ oraz $B=(0,-3)$: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-0}{0-(-2)}$

Wobec tego $\tan\alpha = -\frac{3}{2}$, co wskazuje jednoznacznie na ODPOWIEDŹ A.

Zadanie 14: Zadanie otwarte – Parabola i przesunięcia wykresu

Krok 1: Postać kanoniczna funkcji wyjściowej $f$

Mając dany wierzchołek paraboli $W = (3, -2)$: $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$

Krok 2: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$

Podstawiamy $(x+1)$ w miejsce $x$: $g(x) = a((x + 1) - 3)^2 - 2 \implies g(x) = a(x - 2)^2 - 2$

Wykres funkcji $g$ powstaje przez przesunięcie paraboli $f$ o $1$ jednostkę w lewo. Nowy wierzchołek to $W_g = (2, -2)$.

Krok 3: Wyznaczenie współczynnika $a$

Skoro liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $g$, to do jej wykresu należy punkt $(0, 0)$. Podstawiamy: $0 = a(0 - 2)^2 - 2$

Krok 4: Przekształcenie funkcji $f$ do postaci ogólnej

$f(x) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - 2$

Zadanie 15: Zadanie otwarte – Ciąg geometryczny

Krok 1: Obliczenie wartości znanych wyrazów

• $a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8$
• $a_9 = 3 \cdot 9 + 5 = 32$

Krok 2: Zapisanie trzeciego wyrazu ($a_k$)

$a_k = 3k + 5$

Nasz trzywyrazowy ciąg geometryczny: $8$, $32$, $(3k + 5)$.

Sposób 1: Właściwość sąsiednich wyrazów

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: $32^2 = 8 \cdot (3k + 5)$ $1024 = 8 \cdot (3k + 5)$

Sposób 2: Wyznaczenie ilorazu $q$

Iloraz: $q = 32 \div 8 = 4$. Zatem: $a_k = 32 \cdot 4 = 128 \implies 3k + 5 = 128 \implies k = 41$

Zadanie 16: Ciąg arytmetyczny

Krok 1: Obliczenie różnicy ciągu ($r$)

$a_5 = a_1 + 4r \implies 17 = 1 + 4r \implies r = 4$

Krok 2: Obliczenie $a_9$

Sposób 1: $a_9 = a_5 + 4r = 17 + 16 = 33$

Sposób 2: $a_9 = a_1 + 8r = 1 + 32 = 33$

Zadanie 17: Własności ciągu geometrycznego

Sposób 1: Metoda „Suma indeksów"

W ciągach geometrycznych: jeśli $i + j = m + n$, to $a_i \cdot a_j = a_m \cdot a_n$.

• $3 + 6 = 9$ i $2 + 7 = 9$ – sumy są równe, więc $a_2 \cdot a_7 = a_3 \cdot a_6 = 18$.

Sposób 2: Klasyczne rozbicie

• $a_3 \cdot a_6 = (a_1 \cdot q^2) \cdot (a_1 \cdot q^5) = a_1^2 \cdot q^7 = 18$

Zadanie 18: Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Krok 1: Obliczenie długości boku $AB$ (Twierdzenie Pitagorasa)

$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$ $x^2+4=40⟹$

Krok 2: Obliczenie wartości sinusa

$\sin\gamma = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Zadanie 19: Kąty w okręgu

Krok 1: Zależność między kątem wpisanym a środkowym

Kąt środkowy jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku: $\angle COA = 2 \cdot \angle CDA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$

Krok 2: Wyznaczenie miary kąta $BOA$

$\angle COA = \angle COB + \angle BOA$ $100^\circ = 30^\circ + \angle BOA \implies \angle BOA = 70^\circ$

Zadanie 20: Twierdzenie Talesa i podobieństwo

Krok 1: Podobieństwo trójkątów

Ponieważ $k \parallel l$, trójkąty $\triangle OAD$ oraz $\triangle OCB$ są podobne. Ich odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

Krok 2: Ułożenie proporcji

$\frac{|OD|}{|OB|} = \frac{|OA|}{|OC|} \implies \frac{x}{6} = \frac{12}{8}$

Krok 3: Obliczenie

$8x = 72 \implies x = 9$

Zadanie 21: Zadanie otwarte – Dowód geometryczny

Metoda z wzorem na pole z sinusem

1. Zrozumienie dwusiecznej: Dwusieczna dzieli kąt przy wierzchołku $M$ na dwa równe kąty o mierze $\alpha$. Zatem $\angle KMN = \alpha$ oraz $\angle NML = \alpha$.
2. Wspólny bok: Oba małe trójkąty mają wspólny bok $MN$ o długości .

Powtarzające się wartości w liczniku i mianowniku skracają się ($\frac{1}{2}$, $x$, $\sin\alpha$). Zostaje nam czyste $\frac{a}{b}$, co należało dowieść.

Zadanie 22: Trójkąt równoboczny i okrąg

Krok 1: Relacja między promieniem i wysokością

Promień okręgu opisanego ($R$) stanowi dokładnie $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta równobocznego ($h$): $R = \frac{2}{3}h \implies 9\sqrt{3} = \frac{2}{3}h \implies h = \frac{27\sqrt{3}}{2}$

Krok 2: Obliczenie boku ($a$)

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Przyrównujemy: $\frac{a\sqrt{}}{}$

Zadanie 23: Tożsamości trygonometryczne

Sposób 1: Rozbicie ułamka na dwa mniejsze

$\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha} + \frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$

Sposób 2: Mnożenie „na krzyż"

$3\sin\alpha + 4\cos\alpha = 24\cos\alpha$ $3\sin\alpha = 20\cos\alpha \implies 3\tan\alpha = 20 \implies \tan\alpha = \frac{20}{3}$

Zadanie 24: Geometria analityczna w trójkącie

Zadanie 24.1 (Pole trójkąta)

Punkty $A(0, -3)$ i $C(0, 2)$ leżą na osi $Y$. Długość podstawy $|AC| = |2 - (-3)| = 5$. Wysokość z wierzchołka do osi to współrzędna , czyli . Pole wynosi . ()

Zadanie 24.2 (Środek okręgu opisanego)

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego to zawsze środek przeciwprostokątnej, czyli środek $AC$:

• $x = \frac{0 + 0}{2} = 0$
• $y = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$

Środek to $(0, -\frac{1}{2})$. (ODPOWIEDŹ D)

Zadanie 25: Równanie okręgu (Prawda/Fałsz)

Analiza równania (Stwierdzenie 2)

Ogólny wzór to $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Podstawiamy $$, , : Zadanie sugeruje po prawej stronie liczbę (zamiast prawidłowej ).

Sprawdzenie punktu (Stwierdzenie 1)

Podstawiamy współrzędne punktu $A = (4, -7)$ do poprawnego równania (z $25$ na końcu): $(4 - 1)^2 + (-7 + 3)^2 = 9 + 16 = 25 ✓$ Punkt leży na okręgu.

Zadanie 26: Proste równoległe

Krok 1: Wyznaczenie prostej $l$

Skoro proste są równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy $a = -\frac{1}{3}$. Wzór prostej $l$ to $y = -\frac{1}{3}x + b$.

Krok 2: Podstawienie punktu i wyliczenie $b$

$-2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 + b \implies b = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$

Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b) = (0, -\frac{4}{3})$.

Zadanie 27: Zadanie otwarte – Stereometria i ostrosłup

Krok 1: Pole podstawy ($P_p$)

Podstawą jest kwadrat. Znając przekątną $d = 8\sqrt{3}$: $P_p = \frac{d^2}{2} = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{192}{2} = 96$

Krok 2: Wysokość ostrosłupa ($H$)

Wysokość ($H$), połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Połowa przekątnej: $\frac{1}{2}d = 4\sqrt{3}$.

Krok 3: Objętość ($V$)

$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 128$

Zadanie 28: Bryły obrotowe – Stożek i walec

Krok 1: Wzory na objętość

• Walec (promień $r$, wysokość $H$): $V_w = \pi r^2 H$
• Stożek (promień $2r$, wysokość ):

Krok 2: Obliczenie stosunku

$\frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^2 H}{\pi r^2 H} = \frac{4}{3}$

Zadanie 29: Kombinatoryka i reguła mnożenia

Rozwiązanie krok po kroku

Korzystamy z reguły mnożenia. Dozwolony zbiór cyfr: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

1. Cyfra jedności (ostatnia): Liczba ma być nieparzysta, więc może tu stać tylko $1, 3$ lub $5$. → $3$ możliwości
2. Cyfra setek (pierwsza): Nie może być zerem, więc zostają $1, 2, 3, 4, 5, 6$. → $6$ możliwości

Wynik: $6 \cdot 7 \cdot 3$.

Zadanie 30: Zadanie otwarte – Prawdopodobieństwo

Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych ($|\Omega|$)

$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$

Krok 2: Warunek podzielności przez 6

Liczba dzieli się przez 6, gdy jest parzysta (podzielna przez 2) i suma jej cyfr dzieli się przez 3. Ponieważ zbiór $Y$ zawiera wyłącznie cyfry parzyste, każda wylosowana liczba będzie parzysta z urzędu. Wystarczy sprawdzić sumę cyfr.

Krok 3: Zdarzenia sprzyjające ($|A|$)

Szukamy par $(x,y)$, których suma dzieli się przez 3:

• $x=1$: $y=2$ ($1+2=3$) i $y=8$ ($1$) →

Mamy dokładnie 9 takich liczb. Zatem $|A| = 9$.

Krok 4: Prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{25}$

Zadanie 31: Statystyka i czytanie diagramów

Stwierdzenie 1: Średnia arytmetyczna

Oba diagramy słupkowe są idealnie symetryczne względem oceny $3{,}5$ (pomiędzy $3$ a $4$). Obliczenia analityczne dla klasy A: $\frac{1\cdot1 + 2\cdot6 + 3\cdot3 + 4\cdot3 + 5\cdot6 + 6\cdot1}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$. Dla klasy B identycznie . Średnie są równe.

Stwierdzenie 2: Mediana

Ponieważ klasa liczy 20 osób, mediana to średnia arytmetyczna 10. i 11. wyniku.

• Klasa A: Osoby 8., 9. i 10. mają trójkę. Osoba 11. ma czwórkę. Mediana to $\frac{3+4}{2} = 3{,}5$.
• Klasa B: Osoby od 5. do 10. mają trójkę. Osoba 11. ma czwórkę. Mediana to $\frac{3+4}{2} = 3{,}5$.

Mediany są równe. Zdanie to PRAWDA (P).

Zadanie 32: Średnia arytmetyczna grup

Rozwiązanie krok po kroku

1. Suma pierwszej grupy: $a+b+c = 3 \cdot 2 = 6$
2. Suma drugiej grupy: $d+e+f+g = 4 \cdot 5{,}5 = 22$

Zadanie 33: Funkcja kwadratowa w fizyce (Rzut pionowy)

Wysokość wyrzuconej piłeczki opisuje wzór $h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$.

Zadanie 33.1

Szukamy miejsc zerowych funkcji: $-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0 \implies t(-4{,}9t + 14{,}7) = 0$

Piłka znajduje się na ziemi w dwóch momentach:

• W chwili wyrzutu: $t = 0$
• W chwili upadku: $-4{,}9t + 14{,}7 = 0 \implies t = \frac{14{,}7}{4{,}9} = 3$

Odpowiedź D ($t=3$ s).

Zadanie 33.2

Najwyższy punkt paraboli (ramiona w dół) osiągany jest w połowie lotu: $t_w = \frac{0 + 3}{2} = 1{,}5 \text{ s}$

(Można też wyliczyć ze wzoru $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-14{,}7}{2 \cdot (-4{,}9)} = 1{,}5$.)

Odpowiedź A ($t=1{,}5$ s).

To już koniec! A jak poszło Wam?

Dotarliśmy do końca! Omówiliśmy wszystkie 33 zadania z tegorocznego arkusza z matematyki na poziomie podstawowym. Były zadania standardowe i "pewniaki", ale CKE rzuciło też kilkoma wyzwaniami wymagającymi logicznego i nieszablonowego myślenia.